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弹性力学三大方程

为了由弹性力学问题中的已知量求出未知量，必须建立这些已知量与未知量之间的关系，以及各个未知量之间的关系，从而导出一套求解的方程。在导出方程时，可以从三个方面来进行分析。一方面是静力学方面，由此建立应力、体力、面力之间的关系。另一方面是几何学方面，由此建立形变、位移和边界位移之间的关系。再一个是物理学方面，由此建立形变与应力之间的关系。

平衡方程

在 P 点附近取出一个微小的正平行六面体PACB，它在 x 和 y 方向的尺寸分为为 dx 和 dy，在 z 方向的尺寸为单位长度 1，此正平行六面体又称微元体，进行应力分析，如下图所示。

图1 微元体应力示意图

一般而论，应力分量是位置坐标 x 和 y 的函数，因此作用于左右两对面或上下两对面的应力分量不完全相同，而具有微小的差量。为了简化起见，对 AC，BC 的应力用泰勒展开式展开，然后省略二阶无穷小，可得如上图所示的各个应力的大小（或者利用微分可直接计算得到）。

然后列出力矩平衡方程和受力分析。

先是力矩平衡：

由力矩平衡方程可得剪应力互等定理，即：

根据受力分析，X 方向受力平衡，则：

化简得：

Y 方向同理可得：

所以至此我们就建立了平面问题的平衡微分方程：

平衡方程中不含 E、μ，所以方程与材料性质无关，而且整个弹性体内都满足，包括边界。

几何方程

在平面问题中，讨论几何方程也就是讨论应变与位移的关系。

首先考察P点邻域内线段的变形：

当然以上几个式子都用了taylor展开，忽略了二次以上的高阶项。又有 PA=dx，PB=dy。

在推导公式之前，有必要解释几个概念，正应变，剪应变。何谓正应变，就我的理解，就是相对伸长与原长的比值。剪应变，就是某点两直角线段夹角的变化。

所以正应变的表达式就是如上所示，至于剪应变，同样可得，只是表达式略微复杂一点。

最后整理一下，我们就得到了平面应力问题的几何方程：

物理方程

物理方程是根据胡克定律，没错，就是你高中时学过的发现弹簧的弹力f和弹簧的长度变化量x成正比的那个人。当然我们用到的是广义胡克定律，就是根据胡克定律和泊松比得出来的，推导的话就不写了，随便找本材料力学的书都会有写。

以上的是三维的物理方程，二维的话只只需要三项：

综上所述，弹性力学的基本未知量为三个位移分量，六个应力分量和六个应变分量，共计十五个未知量。基本方程为三个平衡微分方程，六个几何方程和六个物理方程，也是十五个基本方程。因此，可联立这些方程求解未知量。